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未解之谜:隐藏在海昏侯墓中的数学之谜(4)

日期:2017-05-20 来源:故宫历史网 编辑:阿名 阅读:620 次

  称1铢时,先拿出五枚5铢共25铢铜环权,放入右边的衡盘;再拿出1两(24铢)铜环权,与被称物体放入左边的衡盘,两边平衡时便得知被称物体的重量为1铢。

  称2铢时,先拿出半两(12铢)铜环权,放入右边的衡盘;再拿出二枚5铢共10铢铜环权,与被称物体放入左边的衡盘,两边平衡时便得知被称物体的重量为2铢。

  称3铢时,先拿出三枚5铢共15铢铜环权,放入右边的衡盘;再拿出半两(12铢)铜环权,与被称物体放入左边的衡盘,两边平衡时便得知被称物体的重量为3铢。

  称4铢时,先拿出一两(24铢)铜环权,放入右边的衡盘;再拿出四枚5铢共20铢铜环权,与被称物体放入左边的衡盘,两边平衡时便得知被称物体的重量为4铢。

  按照同样的方法,可以任意称1~24铢物体的重量(图10)。

隐藏在海昏侯墓中的数学之谜

图10

  再看1~16两的称重方法。由于有1两、4两、8两和16两四种重量的铜环权,因此可以任意组合称1~16两之间的重量(图11)。下面以称3两、11两、14两为例,略加说明。

  称3两时,先拿出4两铜环权放入右边的衡盘;再拿出1两铜环权与被称物体放入左边的衡盘,两边平衡时便得知被称物体的重量为3两。

  称11两时,先拿出4两和8两(半斤)的铜环权放入右边的衡盘;再拿出1两铜环权与被称物体放入左边的衡盘,两边平衡时便得知被称物体的重量为11两。

隐藏在海昏侯墓中的数学之谜

图11

  称14两时,先拿出16两(1斤)的铜环权放入右边的衡盘;再拿出两枚1两铜环权与被称物体放入左边的衡盘,两边平衡时便得知被称物体的重量为14两。

  据此,海昏侯墓出土的这套二千多年前的铜环权,设计十分科学,使用起来也是非常方便的。

  五、标准量器制作的数学之答

  海昏侯墓出土了几件有铭文的青铜器,非常珍贵,最典型的是昌邑籍田鼎(图12),上面的铭文是:“昌邑籍田铜鼎,容十斗,

隐藏在海昏侯墓中的数学之谜

图12

  重卌(xì,音细)八斤,第廿。”还有一件青铜鋗的铭文是:“昌邑食官铭,容十斗,重卅斤,昌邑□□年造。”另一件青铜鋗的铭文是:“昌邑食官铭,容四斗,重十三斤十两,昌邑二年造。”其中两件“容十斗”,一件“容四斗”,说明这三件青铜器在汉朝是标准的量器。

  按照汉朝的量制规定,1斛=10斗,1斗=10升。1升相当于现在的200毫升。标准的量器形状有立方形的(包括长方形和正方形),有圆柱形的,还有圆台形的。昌邑籍田鼎基本上属于圆柱形的,汉朝叫“圆堡疇”。这里面就有一个数学问题:如果昌邑籍田鼎的容积是10斗也就是1斛的话,那么,这个圆柱体高度和直径的尺寸应该各是多少呢?

  这是一个比较复杂的数学问题,因为它在运算过程中涉及到乘方、开方和圆周率。好在汉朝史籍中已经给出了明确的答案。《汉书?律历志》说:嘉量“其法用铜,方尺而圜其外,旁有庣(tiāo,音挑)焉。”东汉时期的“新莽嘉量”上的铭文中记下了更加精确的数据:“律嘉量斛,方尺而圜其外,庣旁九厘五毫,冥百六十二寸,深尺,积千六百二十寸,容十斗。”

  这里,“方尺而圜其外”,是中国古代定圆的方法,即先确定一个正方形的尺寸,再作外接圆;“庣旁”是指从这个正方形的对角线顶端到外圆圆周线的距离;“冥”同幂,指圆的面积;“深”指圆柱体的高度;“积”,指量器的容积。

  从汉朝史籍中给出的这个答案,我们可以推测出古代对于“圆堡疇”这种标准量器的计算方法。

  第一步,先用勾股定理中以乘方和开方求弦的办法,计算出一尺(10寸)见方的对角线长度为14?1421356寸(图13)。

  第二步,将方尺的对角线“庣旁”,两头各延长九厘五毫,即0?095×2寸,算出底部圆形直径为14?3321356寸,半径为7?1660678寸。

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图13

  第三步,用半径的平方乘以圆周率,即7?1660678的平方×π,得出“冥百六十二寸”,即底面积为162平方寸。

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