未解之谜：隐藏在海昏侯墓中的数学之谜(2)
十进制是指，每满十数向上进一个单位，如十个一进为十，十个十进为百，十个百进为千，如此类推。位值制是指，上一个算位的数值是下一个算位的十倍，如“2”放在个位上表示2，放在十位上就表示20，放在百位上就表示200，放在千位上就表示2000，如此类推。两者结合起来，就叫十进位值制，简称十进位制。海昏侯墓出土的游珠算板上面的纵线和横线，分别代表着十进制与位值制(图3)。其中横线代表十进制，五道线中，上一线
图3
放置的算珠代表5，下四线放置的算珠各代表1，合计代表4。也就是说，五道横线放满算珠最多代表9，再加1就是10，必须进到上一位。纵线代表位值制，从右到左依次为个、十、百、千、万等算位(图4)。运用纵横交错的直线，把各种数字以坐标的形式科学地表示出来，在此基础上进行各种复杂的运算，是中国古代的一项伟大发明!
图4
海昏侯墓出土的这件游珠算板，可以说代表了当时中国的古典数学在世界上的领先地位。与世界其他古老民族的记数法作一比较，其优越性是显而易见的。古罗马的数字系统没有位值制，只有七个基本符号，如要记稍大一点的数目就相当繁难。古美洲玛雅人虽然懂得位值制，但用的是20进位;古巴比伦人也知道位值制，但用的是60进位。而20进位至少需要19个数码，60进位则需要59个数码，这就使记数和运算变得十分繁复。古埃及的数字从一到十只有两个数字符号，从一百到一千万有四个数字符号，而且是象形的，例如用一个鸟表示十万。文化比较发达的古希腊，由于看重几何，轻视计算，记数方法十分落后，用全部希腊字母表示一到一万的数字，字母不够的时候就在字母旁边增加符号“’”，如α表示一千，β表示二千等。现在世界通用的阿拉伯数字和记数法是印度古代人民创造的，但是印度在公元三世纪以前使用的记数法是希腊式和罗马式两种，都不是位值制，他们真正使用十进位制记数法出现在公元六世纪末。由此可见，我国古代的十进位制记数法，在世界数学史上占有重要的地位。
中国古典数学之所以在计算方面取得许多卓越的成就，一定程度上应该归功于游珠算板上所表现出来的十进位制的记数法。马克思在他的《数学手稿》一书中称十进位记数法为“最妙的发明之一”，这是恰如其分的评价。
三、铜钱中的数学之问
在海昏侯墓的西北角，有一个最小的椁室——北藏阁钱库，这里发掘出堆积如山的大量铜钱“汉五铢”。一位考古人员数了几个月，才清理出“冰山”一角。经过初步估算，这堆铜钱大约有200余万枚之多，重量达到10吨左右(图5)。
图5
200余万枚铜钱，在汉朝绝对是一个十分庞大的数字。从数学的角度来提问，古代中国是如何记录万以上的大数字呢?古人又是如何数出这200余万枚铜钱的呢?当初下葬的时候又是如何堆放在钱库中的呢?
首先，这样庞大的数字是如何记录的呢?按照公元190年前后的《数术记遗》中介绍，古代中国记录大数字的方法有三套。
第一套与现在的记数方法相同，即万之后是十万、百万、千万、亿，十亿、百亿、千亿、兆，十兆、百兆、千兆、京，以后是垓、秭(zǐ,音仔)、壤、沟、涧、正、载，都是以10的4次方进位。
第二套记数方法要小得多，万之后是亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载，都是以10的1次方进位。也就是说，使用第一套方法记录的200万枚铜钱，如果使用第二套方法记录就是2兆枚铜钱。
第三套记数方法要大得多，万之后按照10的8次方、16次方、32次方进位。也就是说，从万到亿是十万、百万、千万、万万、十万万、百万万、千万万、亿。记录这么大的数字，应该说是社会生活和科技发展的需要，证明汉朝的文明已经发展到相当的高度。
其次，这么多铜钱当初是一个一个地数出来的吗?回答是否定的。因为大量的铜钱一个一个地去数，实在是一件费时费力的事情。据《汉书?食货志》记载，汉武帝东巡时，“所过赏赐，用帛百余万匹，钱金以巨万计，皆取足大农。”又据《汉书?东方朔传》记载，董偃为馆陶公主散财以交士，“并令中府曰：‘董君所发，一日金满百斤，钱满百万，帛满千匹，乃白之’。”试想，“巨万计”、“满百万”的铜钱能够在短时间内一个一个地数清吗?所以，汉朝清点大量的铜钱一定另有门道儿。
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